Задача № 422. Найти значение следующего выражения:
\[\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.\]
Решение.
Число -1 является корнем многочлена \(x^3 - 2x - 1\). Действительно,
\[(-1)^3 - 2\cdot(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^3 + 0x^2 - 2x - 1\) на \((x-(-1))\) по схеме Горнера:
| 1 | 0 | -2 | -1 | |
| -1 | 1 | -1 | -1 | 0 |
Получаем, что
\[x^3 - 2x - 1 = (x+1)(x^2-x-1).\]
Число -1 является корнем многочлена \(x^5 - 2x - 1\). Действительно,
\[(-1)^5 - 2\cdot(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 2x - 1\) на \((x-(-1))\) по схеме Горнера:
| 1 | 0 | 0 | 0 | -2 | -1 | |
| -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 0 |
Получаем, что
\[x^5 - 2x - 1 = (x+1)(x^4-x^3+x^2-x-1).\]
Таким образом,
\[\frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1} = \\ = \frac{(x+1)(x^2-x-1)}{(x+1)(x^4-x^3+x^2-x-1)} = \\ = \frac{x^2-x-1}{x^4-x^3+x^2-x-1}.\]
Следовательно, искомый предел равен
\[\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1} = \lim\limits_{x\to -1}\frac{x^2-x-1}{x^4-x^3+x^2-x-1} = \\ = \frac{1+1-1}{1+1+1+1-1} = \frac{1}{3}.\]
Ответ. \(\frac{1}{3}\).
