Задача № 419. Найти значение следующего выражения:
\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3}.\]
Решение.
Число 1 является корнем многочлена \(x^3 - 3x + 2\). Действительно,
\[1^3 - 3\cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^3 + 0x^2 - 3x + 2\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:
| 1 | 0 | -3 | 2 | |
| 1 | 1 | 1 | -2 | 0 |
Получаем, что
\[x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2+x-2).\]
Число 1 является корнем многочлена \(x^2+x-2\). Действительно,
\[1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^2+x-2\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:
| 1 | 1 | -2 | |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
Получаем, что
\[x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)\]
Число 1 является корнем многочлена \(x^4 - 4x + 3\). Действительно,
\[1^4 - 4\cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^4 +0x^3 + 0x^2 - 4x + 3\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:
| 1 | 0 | 0 | -4 | 3 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | -3 | 0 |
Получаем, что
\[x^4 - 4x + 3 = (x-1)(x^3+x^2+x-3).\]
Число 1 является корнем многочлена \(x^3+x^2+x-3\). Действительно,
\[1^3 + 1^2 + 1 - 3 = 1 + 1 + 1 - 3 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^3+x^2+x-3\) на \((x-1)\) по схеме Горнера:
| 1 | 1 | 1 | -3 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 0 |
Получаем, что
\[x^4 - 4x + 3 = (x-1)(x-1)(x^2+2x+3) = (x-1)^2(x^2+2x+3).\]
Таким образом,
\[\frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3} = \frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+2x+3)} = \\ = \frac{x+2}{x^2+2x+3}.\]
Следовательно, искомый предел равен
\[\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3} = \lim\limits_{x\to 1}\frac{x+2}{x^2+2x+3} = \\ = \frac{1+2}{1+2+3} = \frac{1}{2}.\]
Ответ. \(\frac{1}{2}\).
