5.008. Сумма биномиальных коэффициентов разложения \((2nx+\frac{1}{2nx^2})^{3n}\) равна 64. Определить слагаемое, не содержащее x.
Решение.
Сумма биномиальных коэффициентов равна \(2^n\). Значит, \(2^n=64\).
\[2^{3n}=2^6\]
\[2^{3n}=2^{3\cdot2}\Rightarrow n=2.\]

Отсюда,
\((2nx+\frac{1}{2nx^2})^{3n}=(2\cdot2\cdot x+\frac{1}{2\cdot2\cdot x^2})^{3\cdot2}=(4x+\frac{1}{4x^2})^{6}\).

Из формулы бинома Ньютона следует, что
\begin{multline}
(4x+\frac{1}{4x^2})^{6}=C_6^0\cdot(4x)^6+C_6^1\cdot(4x)^5\cdot\frac{1}{4x^2}+\\
+C_6^2\cdot(4x)^4\cdot(\frac{1}{4x^2})^2+C_6^3\cdot(4x)^3\cdot(\frac{1}{4x^2})^3+C_6^4\cdot(4x)^2\cdot(\frac{1}{4x^2})^4+\\
+C_6^5\cdot4x\cdot(\frac{1}{4x^2})^5+C_6^6\cdot(\frac{1}{4x^2})^6.
\end{multline}

Найдём слагаемое, не содержащее x. Раскроем третье слагаемое разложения \(C_6^2\cdot(4x)^4\cdot(\frac{1}{4x^2})^2\).
\(C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\), где \(m \leq n; C_n^0 = 1;\)
1) \(C_6^2=\frac{6!}{(6-2)!\cdot2!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2}=\frac{6\cdot5}{2}=\frac{3\cdot5}{1}=3\cdot5=15\);
2) \((4x)^4\cdot(\frac{1}{4x^2})^2=256x^4\cdot\frac{1^2}{(4x^2)^2}=256x^4\cdot\frac{1}{16x^4}=\frac{256x^4}{16x^4}=\frac{256}{16}=16\);
3) \(15\cdot16=240\).
\(C_6^2\cdot(4x)^4\cdot(\frac{1}{4x^2})^2=240\). Значит, третье слагаемое не содержит x.

Ответ: третье слагаемое - 240.