Решить уравнения:
$$5.002. а) C_{x+1}^{x-2}+2C_{x-1}^3=7(x-1); \quad б) \frac{A_x^4}{A_{x+1}^3-C_x^{x-4}}=\frac{24}{23}.$$
Решение.
Решим уравнение а.
\[а) C_{x+1}^{x-2}+2C_{x-1}^3=7(x-1)\]
\(C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\), где \(m \leq n; C_n^0 = 1\)
\(\begin{multline} С_{x+1}^{x-2} = \frac{(x+1)!}{(x+1-(x-2))!(x-2)!} = \frac{(x+1)!}{(x+1-x+2)!(x-2)!}
\\=\frac{(x+1)\cdot x\cdot (x-1)(x-2)!}{3!(x-2)!}=\frac{(x+1)\cdot x\cdot (x-1)}{6}=
\\=\frac{x(x+1)(x-1)}{6}, где x-2\leq x+1\end{multline}\)
\(С_{x-1}^3=\frac{(x-1)!}{(x-1-3)!3!}=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)!}{6\cdot(x-4)!}=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}\)
\(2С_{x-1}^3=2\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{3}, где 3\leq x-1\)
Так как \(C_{x+1}^{x+2}=\frac{x(x+1)(x-1)}{6}\) и \(2C_{x-1}^3=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{3}\), то \(C_{x+1}^{x+2}+2C_{x-1}^3=\frac{x(x+1)(x-1)}{6}+\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{3}\) и \(\frac{x(x+1)(x-1)}{6}+\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{3}=7(x-1)\).
Решим получившееся уравнение:
\(\frac{x(x+1)(x-1)}{6}+\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{3}=7(x-1)\qquad | \cdot6\)
\(x(x+1)(x-1)+2(x-1)(x-2)(x-3)=42(x-1)\)
\((x-1)(x(x+1)+2(x-2)(x-3))=42(x-1)\qquad | \cdot\frac{1}{x-1}\)
\(x(x+1)+2(x-2)(x-3)=42\)
\(x^2+x+(2x-4)(x-3)=42\)
\(x^2+x+2x^2-6x-4x+12-42=0\)
\(x^2+2x^2+x-6x-4x+12-42=0\)
\(3x^2-9x-30=0\)
1)\(a=3;b=-9;c=-30\)
2)\( D=b^2-4\cdot a\cdot c=(-9)^2-4\cdot3\cdot(-30)=81+360=441>0\)
3)\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-9)\pm\sqrt(441)}{2\cdot3}=\frac{9\pm21}{6}=\frac{3(3\pm7)}{6}=\frac{3\pm7}{2}\)
\(x_1=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2\)
\(x_2=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5\)
По условию \(x-2\leq x+1\) и \(3\leq x-1\).
Проверка.
1) \(-2-2\leq -2+1\)
\(-4<-1\)
\(3\leq -2-1\)
\(3\nleq -3\)
Из двух условий выполняется лишь одно условие. Значит, \(x\neq-2\).
2) \(5-2\leq 5+1\)
\(3<6\)
\(3\leq 5-1\)
\(3<4\)
Значение \(x=5\) удовлетворяет всем условиям. Значит, \(x=5\).
Ответ: \(x=5\).
Решим уравнение б.
\[б) \frac{A_x^4}{A_{x+1}^3-C_x^{x-4}}=\frac{24}{23}\]
\(A_n^m = \frac{n!}{(n - m)!}\), где \(m \leq n\)
\(C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! m!}\), где \(m \leq n; C_n^0 = 1;\)
\(A_x^4=\frac{x!}{(x-4)!}=\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)!}{(x-4)!}=x(x-1)(x-2)(x-3), где 4\leq x\)
\(A_{x+1}^3=\frac{(x+1)!}{(x+1-3)!}=\frac{(x+1)\cdot x\cdot (x-1)(x-2)!}{(x-2)!}=(x+1)\cdot x\cdot(x-1)=x(x-1)(x+1)), где 3\leq x+1\)
\(\begin{multline}C_x^{x-4}=\frac{x!}{(x-(x-4))!(x-4)!}=\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)!}{(x-x+4)!(x-4!)}=\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4!}= \\ = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24}=\frac{1}{24}\cdot x(x-1)(x-2)(x-3), где x-4\leq x\end{multline}\)
Так как \(A_x^4=x(x-1)(x-2)(x-3)\), \(A_{x+1}^3=x(x-1)(x+1)\) и \(C_x^{x-4}=\frac{1}{24}\cdot x(x-1)(x-2)(x-3)\), то \(\frac{A_x^4}{A_{x+1}^3-C_x^{x-4}}=\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x+1)-\frac{1}{24}\cdot x(x-1)(x-2)(x-3)}\), а \(\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x+1)-\frac{1}{24}\cdot x(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{24}{23}\).
Решим получившееся уравнение:
\(\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x+1)-\frac{1}{24}\cdot x(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{24}{23}\)
\(\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x+1-\frac{1}{24}\cdot(x-2)(x-3))}=\frac{24}{23}\)
\(\frac{(x-2)(x-3)}{x+1-\frac{1}{24}\cdot(x-2)(x-3)}=\frac{24}{23}\)
\(23\cdot(x-2)(x-3)=24\cdot(x+1-\frac{1}{24}\cdot(x-2)(x-3))\)
\(23(x^2-3x-2x+6)=24x+24-(x^2-3x-2x+6)\)
\(23(x^2-5x+6)=24x+24-(x^2-5x+6)\)
\(23x^2-115x+138=24x+24-x^2+5x-6\)
\(23x^2-115x+138=29x-x^2+18\)
\(23x^2-115x+138-29x+x^2-18=0\)
\(23x^2+x^2-115x-29x+138-18=0\)
\(24x^2-144x+120=0\qquad |\cdot\frac{1}{24}\)
\(x^2-6x+5=0\)
\[1) a=1;b=-6;c=5.\]
\[2) D=b^2-4\cdot a\cdot c=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16 >0\]
\[3) x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{6\pm4}{2}=\frac{2(3\pm2)}{2}=3\pm2\]
\[x_1=3-2=1; \qquad x_2=3+2=5.\]
По условию \(4\leq x\), \(3\leq x+1\) и \(x-4\leq x\).
Проверка.
1) \(4\nleq1\)
\(3\nleq1+1\), так как \(3\nleq2\).
\(1-4\leq1\)
\(-3<1\)
Из трёх условий выполняется лишь одно условие. Значит, \(x\neq1\).
2) \(4<5\)
\(3<5+1\), так как \(3<6\).
\(5-4<5\), так как \(1<5\).
Значение \(x=5\) удовлетворяет всем условиям. Значит, \(x=5\).
Ответ: \(x = 5\).
