Найти неопределенный интеграл:

\(\int \ln xdx\)

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся формулой (методом) интегрирования по частям:

\(\int udv = uv-\int vdu\).

Обычно в интегралах такого вида логарифм, находящийся под знаком интеграла обозначают через \(u\):

\(u=\ln x \Rightarrow du = (\ln x)'dx = \frac{1}{x}dx \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx \).

Оставшуюся часть обозначим через \(dv\):

\(dv=dx \Rightarrow \int du=\int dx \Rightarrow v=x \).

Следовательно,

\(\int\! \ln xdx = x\cdot \ln x-\int x\frac{1}{x}dx = x\cdot \ln x-\int dx = \)
\(= x\cdot \ln x-x+C\), ки дар ин ҷо \(C - const\).

Проверка. Для проверки правильности вычислим производную найденного решения, и она должна равняться функции под знаком интеграла:

\((x\cdot \ln x-x+C)' = (x\cdot \ln x)'-(x)'+(C)' = \)
\(= (x)'\ln x + x(\ln x)'-1+0 = \)
\(= 1\cdot \ln x + x\cdot\frac{1}{x}-1 = \ln x+1-1 = \ln x \)

При вычислении производной была использована формула \((uv)' = u'v + uv'\). И это не случайно.  Эта формула и формула интегрирования по частям взаимно обратны.