Найти неопределенный интеграл:

$\int \ln xdx$

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся формулой (методом) интегрирования по частям:

$\int udv = uv-\int vdu$.

Обычно в интегралах такого вида логарифм, находящийся под знаком интеграла обозначают через $u$:

$u=\ln x \Rightarrow du = (\ln x)'dx = \frac{1}{x}dx \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx$.

Оставшуюся часть обозначим через $dv$:

$dv=dx \Rightarrow \int du=\int dx \Rightarrow v=x$.

Следовательно,

$\int\! \ln xdx = x\cdot \ln x-\int x\frac{1}{x}dx = x\cdot \ln x-\int dx =$
$= x\cdot \ln x-x+C$, ки дар ин ҷо $C - const$.

Проверка. Для проверки правильности вычислим производную найденного решения, и она должна равняться функции под знаком интеграла:

$(x\cdot \ln x-x+C)' = (x\cdot \ln x)'-(x)'+(C)' =$
$= (x)'\ln x + x(\ln x)'-1+0 =$
$= 1\cdot \ln x + x\cdot\frac{1}{x}-1 = \ln x+1-1 = \ln x$

При вычислении производной была использована формула $(uv)' = u'v + uv'$. И это не случайно.  Эта формула и формула интегрирования по частям взаимно обратны.