Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.
Решение:
Пусть AB и CD - данные прямые, а BC - секущая. Пары углов ABC и BCD - внутренние накрест лежащие. Тогда, лучи BE и CF - биссектрисы углов ABC и BCD.
Прямые AB и CD параллельны по условию задачи. Значит, внутренние накрест лежащие углы ABC и BCD равны по теореме 4.3. Отсюда, $\angle$ABC = $\angle$BCD.
Так как BE и CF - биссектрисы, то $\angle$ABE = $\angle$CBE и $\angle$BCF = $\angle$DCF. По основному свойству измерения отрезков $\angle$ABC = 2 $\cdot$ $\angle$CBE и $\angle$BCD = 2 $\cdot$ $\angle$BCF. Отсюда, $\angle$ABC = 2 $\cdot$ $\angle$CBE = 2 $\cdot$ $\angle$BCF = $\angle$BCD, т.е. $\angle$CBE = $\angle$BCF.
По определению углы CBE и BCF - внутренние накрест лежащие, относительно прямых BE и CF и секущей BC. Так как углы CBE и BCF равны, то по теореме 4.2 прямые BE и CF параллельны.
Значит, биссектрисы BE и CF тоже параллельны.