Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Решение:
Пусть: $\angle$BOC и $\angle$AOD - данные вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны, то углы BOC и AOD равны. Отсюда, $\angle$BOC = $\angle$AOD = x. Пусть: луч F - биссектриса угла BOC и луч E биссектриса угла AOD. Отсюда: $\angle$BOF = $\frac{x}{2}$; $\angle$COF = $\frac{x}{2}$; $\angle$AOE = $\frac{x}{2}$; $\angle$DOE = $\frac{x}{2}$.
Так как сумма смежных углов равна 180°, то:
$\angle$AOC + $\angle$AOD = 180°. Отсюда: $\angle$AOC + x = 180°, $\angle$AOC = 180° - x
$\angle$EOF = $\angle$COF + $\angle$AOC + $\angle$AOE
$\angle$EOF = $\frac{x}{2}$ + 180° - x + $\frac{x}{2}$
$\angle$EOF = $\frac{2x}{2}$ + 180° - x
$\angle$EOF = x + 180° - x
$\angle$EOF = 180°
Так как развёрнутый угол равен 180°, то биссетриссы вертикальных углов лежат на прямой EOF.