Глава 12. Задача 8. Независимые дискретные случайные величины заданы следующими законами распределения:

Найти законы распределения функций: а) \(Z = X + Y\); б) \(Z = XY\).

Решение.

Решение а).

Возможные значения \(Z\) есть суммы каждого возможного значения \(X\) со всеми возможными значениями \(Y\):

\(z_1 = x_1 + y_1 = 2 + 1 = 3\);

\(z_2 = x_1 + y_2 = 2 + 4 = 6\);

\(z_3 = x_2 + y_1 = 3 + 1 = 4\);

\(z_4 = x_2 + y_1 = 3 + 4 = 7\);

\(z_5 = x_3 + y_1 = 5 + 1 = 6\);

\(z_6 = x_3 + y_2 = 5 + 4 = 9\).

Найдем вероятности этих возможных значений.

Для того чтобы \(Z = 3\), достаточно, чтобы величина \(X\) приняла значение \(x_1 = 2\) и величина \(Y\) - значение \(y_1 = 1\). Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,3 и 0,2.

Аргументы \(X\) и \(Y\) независимы, поэтому события \(X = 2\) и \(Y = 1\) независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события \(Z = 2 + 1 = 3\) по теореме умножения равна:

\(P(Z = z_1) = P(Z = 2 + 1) = 0,3\cdot 0,2 = 0,06\);

Аналогично найдем:

\(P(Z = z_2) = P(Z = 2 + 4) = 0,3\cdot 0,8 = 0,24\);

\(P(Z = z_3) = P(Z = 3 + 1) = 0,5\cdot 0,2 = 0,10\);

\(P(Z = z_4) = P(Z = 3 + 4) = 0,5\cdot 0,8 = 0,40\);

\(P(Z = z_5) = P(Z = 5 + 1) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04\);

\(P(Z = z_6) = P(Z = 5 + 4) = 0,2\cdot 0,8 = 0,16\);

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий \(Z = z_2\), \(Z = z_5\) \((0,24 + 0,04= 0,28)\):

Контроль: \(0,06 + 0,10 + 0,28 + 0,40 + 0,16 = 1\).

Решение б).

Возможные значения \(Z\) есть произведение каждого возможного значения \(X\) с каждым возможным значением \(Y\):

\(z_1 = x_1 \cdot y_1 = 2 \cdot 1 = 2\);

\(z_2 = x_1 \cdot y_2 = 2 \cdot 4 = 8\);

\(z_3 = x_2 \cdot y_1 = 3 \cdot 1 = 3\);

\(z_4 = x_2 \cdot y_1 = 3 \cdot 4 = 12\);

\(z_5 = x_3 \cdot y_1 = 5 \cdot 1 = 5\);

\(z_6 = x_3 \cdot y_2 = 5 \cdot 4 = 20\).

Найдем вероятности этих возможных значений.

Для того чтобы \(Z = 2\), достаточно, чтобы величина \(X\) приняла значение \(x_1 = 2\) и величина \(Y\) - значение \(y_1 = 1\). Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,3 и 0,2.

Аргументы \(X\) и \(Y\) независимы, поэтому события \(X = 2\) и \(Y = 1\) независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события \(Z = 2 \cdot 1 = 2\) по теореме умножения равна:

\(P(Z = z_1) = P(Z = 2 \cdot 1) = 0,3\cdot 0,2 = 0,06\);

Аналогично найдем:

\(P(Z = z_2) = P(Z = 2 \cdot 4) = 0,3\cdot 0,8 = 0,24\);

\(P(Z = z_3) = P(Z = 3 \cdot 1) = 0,5\cdot 0,2 = 0,10\);

\(P(Z = z_4) = P(Z = 3 \cdot 4) = 0,5\cdot 0,8 = 0,40\);

\(P(Z = z_5) = P(Z = 5 \cdot 1) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04\);

\(P(Z = z_6) = P(Z = 5 \cdot 4) = 0,2\cdot 0,8 = 0,16\);

Напишем искомое распределение:

Контроль: \(0,06 + 0,10 + 0,04 + 0,24 + 0,40 + 0,16 = 1\).

Ответ.

а)

б)