Глава 13. Задача 1. Написать функцию распределения $F(x)$ и плотность вероятности $f(x)$ непрерывной случайной величины $X$, распределенной по показательному закону с параметром $\lambda = 5$.

Решение.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины $X$, которое описывается плотностью

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 \qquad при \quad x < 0,\\ \lambda e^{-\lambda x} \qquad при \quad x \geq 0, \end{array} \right.$$

где $\lambda$ - постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона:

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 \qquad при \quad x < 0,\\ 1 - e^{-\lambda x} \qquad при \quad x \geq 0. \end{array} \right.$$

Так как по условию задачи $\lambda = 5$, поэтому получаем плотность распределения

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 \qquad при \quad x < 0,\\ 5e^{-5x} \qquad при \quad x \geq 0, \end{array} \right.$$

и функцию распределения

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 \qquad при \quad x < 0,\\ 1 - e^{-5x} \qquad при \quad x \geq 0. \end{array} \right.$$

Ответ. $f(x) = 5e^{-5x}$ при $x\geq 0$; $f(x) = 0$ при $x<0$;

$F(x) = 1 - e^{-5x}.$