Глава 13. Задача 1. Написать функцию распределения \(F(x)\) и плотность вероятности \(f(x)\) непрерывной случайной величины \(X\), распределенной по показательному закону с параметром \(\lambda = 5\).

Решение.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины \(X\), которое описывается плотностью

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 \qquad при \quad x < 0,\\ \lambda e^{-\lambda x} \qquad при \quad x \geq 0, \end{array} \right.\]

где \(\lambda\) - постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона:

\[F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 \qquad при \quad x < 0,\\ 1 - e^{-\lambda x} \qquad при \quad x \geq 0. \end{array} \right.\]

Так как по условию задачи \(\lambda = 5\), поэтому получаем плотность распределения

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 \qquad при \quad x < 0,\\ 5e^{-5x} \qquad при \quad x \geq 0, \end{array} \right.\]

и функцию распределения

\[F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 \qquad при \quad x < 0,\\ 1 - e^{-5x} \qquad при \quad x \geq 0. \end{array} \right.\]

Ответ. \(f(x) = 5e^{-5x}\) при \(x\geq 0\); \(f(x) = 0\) при \(x<0\);

\(F(x) = 1 - e^{-5x}.\)