Задача № 42. г) Доказать, что \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0), указав для всякого \(\varepsilon > 0\) число \(N = N(\varepsilon)\) такое, что \(|x_n| < \varepsilon\) при \(n > N\), если

г) \(x_n = (-1)^n\cdot 0,999^n\).

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу

Решение г).

\(|x_n| = |(-1)^n\cdot 0,999^n| = 0,999^n\).

Пусть натуральное число \(N\) такое, что для данного \(\varepsilon > 0\)

\(0,999^N < \varepsilon\)

\(\lg 0,999^N < \lg\varepsilon\)

\(N\lg 0,999 < \lg\varepsilon\).

Так как

\(\lg 0,999 = \log_{10}0,999 \approx -0,0004 < 0\),

поэтому

\(N > \frac{\lg\varepsilon}{\lg 0,999} \approx \frac{\lg\varepsilon}{-0,0004} = 2500\cdot (-1)\cdot \lg\varepsilon = 2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\)

Отсюда

\(N > 2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\).

Следовательно, если \(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\), то для любого натурального \(n > N\) будет выполняться неравенство

\(|x_n| = 0,999^n < \varepsilon\).

Пусть \(\varepsilon > 0\) и \(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\), тогда

\(|x_n| = 0,999^n < \varepsilon\),

при \(n > N\).

Это значит, что последовательность \(x_n = (-1)\cdot 0,999^n\) \((n = 1, 2, ...)\) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0).

1) Если \(\varepsilon = 0,1\), то

\(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil2500\lg\frac{1}{0,1}\right\rceil = 2500\)

Для любого \(n > 2500\) будет

\(|x_n| < 0,1\).

2) Если \(\varepsilon = 0,001\), то

\(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil2500\lg\frac{1}{0,001}\right\rceil = 7500\)

Для любого \(n > 7500\) будет

\(|x_n| < 0,001\).

3) Если \(\varepsilon = 0,0001\), то

\(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil2500\lg\frac{1}{0,0001}\right\rceil = 10000\)

Для любого \(n > 10000\) будет

\(|x_n| < 0,0001\).

Заполним таблицу