Задача № 43. а) Доказать, что последовательность а) \(x_n = (-1)^n n\) \((n \geq 2)\) имеет бесконечный предел при \(n \rightarrow \infty\) (т.е. является бесконечно большой), определив для всякого \(E > 0\) число \(N = N(E)\) такое, что \(|x_n| > E\) при \(n > N\).
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу
| \(E\) | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| \(N\) |
Решение.
\(|x_n| = |(-1)^n n| = n\).
Пусть натуральное число \(N\) такое, что для данного \(E > 0\)
\(N \geq E\).
Следовательно, если \(N = \left\lceil E \right\rceil\), то для любого натурального \(n > N\) будет выполняться неравенство
\(|x_n| = n > E\).
Это значит, что последовательность \(x_n = (-1)^n n\) \((n \geq 2)\) имеет бесконечный предел при \(n \rightarrow \infty\) (т.е. является бесконечно большой).
1) Если \(E = 10\), то
\(N = \left\lceil E \right\rceil = \left\lceil 10 \right\rceil = 10\).
Для любого \(n > 10\) будет
\(|x_n| > 10\).
2) Если \(E = 100\), то
\(N = \left\lceil E \right\rceil = \left\lceil 100 \right\rceil = 100\).
Для любого \(n > 100\) будет
\(|x_n| > 100\).
3) Если \(E = 1000\), то
\(N = \left\lceil E \right\rceil = \left\lceil 1000 \right\rceil = 1000\).
Для любого \(n > 1000\) будет
\(|x_n| > 1000\).
4) Если \(E = 10000\), то
\(N = \left\lceil E \right\rceil = \left\lceil 10000 \right\rceil = 10000\).
Для любого \(n > 10000\) будет
\(|x_n| > 10000\).
Заполним таблицу
| \(E\) | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| \(N\) | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
