Задача № 43. б) Доказать, что последовательность \(x_n = 2^\sqrt{n}\) \((n \geq 2)\) имеет бесконечный предел при \(n \rightarrow \infty\) (т.е. является бесконечно большой), определив для всякого \(E > 0\) число \(N = N(E)\) такое, что \(|x_n| > E\) при \(n > N\).
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу
| \(E\) | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| \(N\) |
Решение.
\(|x_n| = |2^\sqrt{n}| = 2^\sqrt{n}\).
Пусть натуральное число \(N\) такое, что для данного \(E > 0\)
\(2^\sqrt{N} \geq E\).
\(\log_2 2^\sqrt{N} \geq \log_2 E\).
\(\sqrt{N} \geq \log_2 E\).
\(N \geq \left(\log_2 E\right)^2\).
Следовательно, если \(N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right]\), то для любого натурального \(n > N\) будет выполняться неравенство
\(|x_n| = 2^\sqrt{n} > E\).
Это значит, что последовательность \(x_n = 2^\sqrt{n}\) \((n \geq 2)\) имеет бесконечный предел при \(n \rightarrow \infty\) (т.е. является бесконечно большой).
1) Если \(E = 10\), то
\(N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 10\right)^2 \right] = 11\).
Для любого \(n > 11\) будет
\(|x_n| > 10\).
2) Если \(E = 100\), то
\(N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 100\right)^2 \right] = 44\).
Для любого \(n > 44\) будет
\(|x_n| > 100\).
3) Если \(E = 1000\), то
\(N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 1000\right)^2 \right] = 99\).
Для любого \(n > 99\) будет
\(|x_n| > 1000\).
4) Если \(E = 10000\), то
\(N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 10000\right)^2 \right] = 176\).
Для любого \(n > 176\) будет
\(|x_n| > 10000\).
Заполним таблицу
| \(E\) | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| \(N\) | 11 | 44 | 99 | 176 |
