Задача № 43. б) Доказать, что последовательность $x_n = 2^\sqrt{n}$ $(n \geq 2)$ имеет бесконечный предел при $n \rightarrow \infty$ (т.е. является бесконечно большой), определив для всякого $E > 0$ число $N = N(E)$ такое, что $|x_n| > E$ при $n > N$.

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу

Решение.

$|x_n| = |2^\sqrt{n}| = 2^\sqrt{n}$.

Пусть натуральное число $N$ такое, что для данного $E > 0$

$2^\sqrt{N} \geq E$.

$\log_2 2^\sqrt{N} \geq \log_2 E$.

$\sqrt{N} \geq \log_2 E$.

$N \geq \left(\log_2 E\right)^2$.

Следовательно, если $N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right]$, то для любого натурального $n > N$ будет выполняться неравенство

$|x_n| = 2^\sqrt{n} > E$.

Это значит, что последовательность $x_n = 2^\sqrt{n}$ $(n \geq 2)$ имеет бесконечный предел при $n \rightarrow \infty$ (т.е. является бесконечно большой).

1) Если $E = 10$, то

$N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 10\right)^2 \right] = 11$.

Для любого $n > 11$ будет

$|x_n| > 10$.

2) Если $E = 100$, то

$N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 100\right)^2 \right] = 44$.

Для любого $n > 44$ будет

$|x_n| > 100$.

3) Если $E = 1000$, то

$N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 1000\right)^2 \right] = 99$.

Для любого $n > 99$ будет

$|x_n| > 1000$.

4) Если $E = 10000$, то

$N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 10000\right)^2 \right] = 176$.

Для любого $n > 176$ будет

$|x_n| > 10000$.

Заполним таблицу