Задача № 43. в) Доказать, что последовательность \(x_n = \lg(\lg n)\) \((n \geq 2)\) имеет бесконечный предел при \(n \rightarrow \infty\) (т.е. является бесконечно большой), определив для всякого \(E > 0\) число \(N = N(E)\) такое, что \(|x_n| > E\) при \(n > N\).
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу
| \(E\) | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| \(N\) |
Решение.
\(|x_n| = |\lg(\lg n)| = \lg(\lg n)\) при \(n \geq 10\).
Пусть натуральное число \(N\) такое, что для данного \(E > 0\) выполняется
\(\lg(\lg N) \geq E\).
\(10^{\lg(\lg N)} \geq 10^E\).
\(\lg N \geq 10^E\).
\(10^{\lg N} \geq 10^{(10^E)}\).
\(N \geq 10^{(10^E)}\).
Следовательно, если \(N = \left[ 10^{(10^E)} \right]\), то для любого натурального \(n > N\) будет выполняться неравенство
\(|x_n| = \lg(\lg n) > E\).
Это значит, что последовательность \(x_n = \lg(\lg n)\) \((n \geq 2)\) имеет бесконечный предел при \(n \rightarrow \infty\) (т.е. является бесконечно большой).
1) Если \(E = 10\), то
\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{10})}\).
Для любого \(n > 10^{(10^{10})}\) будет
\(|x_n| > 10\).
2) Если \(E = 100\), то
\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{100})}\).
Для любого \(n > 10^{(10^{100})}\) будет
\(|x_n| > 100\).
3) Если \(E = 1000\), то
\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{1000})}\).
Для любого \(n > 10^{(10^{1000})}\) будет
\(|x_n| > 1000\).
4) Если \(E = 10000\), то
\(N = \left[ 10^{(10^E)} \right] = 10^{(10^{10000})}\).
Для любого \(n > 10^{(10^{10000})}\) будет
\(|x_n| > 10000\).
Заполним таблицу
| \(E\) | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| \(N\) | \(10^{(10^{10})}\) | \(10^{(10^{100})}\) | \(10^{(10^{1000})}\) | \(10^{(10^{10000})}\) |
