Задача № 44. Показать, что $x_n = n^{(-1)^n}$ $(n = 1, 2, ...)$ не ограничена, однако не является бесконечно большой при $n \rightarrow \infty$.

Решение.

Пусть $n$ - четное, то есть $n = 2k$, где $k$ - натуральное число. Тогда

$(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$

и

$x_n = n^{(-1)^n} = 2k$.

Пусть $n$ - нечетное, то есть $n = 2k+1$, где $k$ - натуральное число. Тогда

$(-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1$

и

$x_n = n^{(-1)^n} = \frac{1}{2k+1}$.

Пусть теперь $E > 0$ - сколь угодно большое натуральное число.

Для натурального числа $N$ такого, что

$N = N(E) = \left[\frac{E}{2}\right]\cdot 2 + 2$

будет выполняться

$x_N = N^{(-1)^N} = N > E$.

Таким образом, последовательность $x_n$ $(n = 1, 2, ...)$ не ограничена.

С другой стороны, очевидно, что для сколь угодно большого натурального числа $n$ найдется нечетное число $k$ такое, что $k > n$. При этом будет

$x_k = k^{(-1)^k} = \frac{1}{k} < 1$.

Следовательно, последовательность $x_n$ $(n = 1, 2, ...)$ не ограничена, однако не является бесконечно большой при $n \rightarrow \infty$.

Что и требовалось показать.