Задача № 44. Показать, что \(x_n = n^{(-1)^n}\) \((n = 1, 2, ...)\) не ограничена, однако не является бесконечно большой при \(n \rightarrow \infty\).

Решение.

Пусть \(n\) - четное, то есть \(n = 2k\), где \(k\) - натуральное число. Тогда

\((-1)^n = (-1)^{2k} = 1\)

и

\(x_n = n^{(-1)^n} = 2k\).

Пусть \(n\) - нечетное, то есть \(n = 2k+1\), где \(k\) - натуральное число. Тогда

\((-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1\)

и

\(x_n = n^{(-1)^n} = \frac{1}{2k+1}\).

Пусть теперь \(E > 0\) - сколь угодно большое натуральное число.

Для натурального числа \(N\) такого, что

\(N = N(E) = \left[\frac{E}{2}\right]\cdot 2 + 2\)

будет выполняться

\(x_N = N^{(-1)^N} = N > E\).

Таким образом, последовательность \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) не ограничена.

С другой стороны, очевидно, что для сколь угодно большого натурального числа \(n\) найдется нечетное число \(k\) такое, что \(k > n\). При этом будет

\(x_k = k^{(-1)^k} = \frac{1}{k} < 1\).

Следовательно, последовательность \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) не ограничена, однако не является бесконечно большой при \(n \rightarrow \infty\).

Что и требовалось показать.