Задача № 45. Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:

а) \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = \infty\);

б) \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = - \infty\);

в) \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = + \infty\).

Решение.

Решение а).

Утверждение о пределе последовательности

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = \infty\)

означает, что для всякого числа \(E > 0\) существует натуральное число \(N = N(E)\) такое, что \(|x_n| > E\) при \(n > N\).

Решение б).

Утверждение о пределе последовательности

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = - \infty\)

означает, что для всякого числа \(E < 0\) существует натуральное число \(N = N(E)\) такое, что \(x_n < E\) при \(n > N\).

Решение в).

Утверждение о пределе последовательности

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = + \infty\)

означает, что для всякого числа \(E > 0\) существует натуральное число \(N = N(E)\) такое, что \(x_n > E\) при \(n > N\).