Задача № 46. Предполагая, что \(n\) пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{10000n}{n^2+1}.\]

Решение.

Учитывая, что

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0\),

\(a\cdot 0 = 0\), где \(a\) - произвольное число,

получаем искомый предел последовательности

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{10000n}{n^2+1} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{10000n\cdot\frac{1}{n}}{(n^2+1)\cdot\frac{1}{n}} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{10000}{n+\frac{1}{n}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(10000\cdot\frac{1}{n+\frac{1}{n}}\right) = 0.\]