Задача № 47. Предполагая, что \(n\) пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right).\]

Решение.

Учитывая, что

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\), где \(a,\, b\) - произвольные числа,

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0\),

получаем искомый предел последовательности

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})\cdot (\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n+1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0.\]