Задача № 48. Предполагая, что \(n\) пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\sqrt[3]{n^2}\sin n!}{n+1}\).

Решение.

Учитывая, что

\(|\sin x| \leq 1\), где \(x\) - произвольное число,

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^a} = 0\), где \(a > 0\),

получаем искомый предел последовательности

\[\frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+1} = \frac{n^{\frac{2}{3}}}{n+1} = \frac{n^{\frac{2}{3}}\cdot n^{-\frac{2}{3}}}{(n+1)\cdot n^{-\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{n}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}.\]

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\sqrt[3]{n^2}\sin n!}{n+1} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}} = 0.\]