Задача № 49. Предполагая, что \(n\) пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(-2)^n + 3^n}{(-2)^{n+1} + 3^{n+1}}.\]

Решение.

Учитывая, что

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a^n = 0\), где \(|a| < 1\),

\(0 \cdot b = 0\) и \(0 + b = b\), где \(b\) - произвольное число,

получаем искомый предел последовательности

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(-2)^n + 3^n}{(-2)^{n+1} + 3^{n+1}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\left((-2)^n + 3^n\right)\cdot \frac{1}{3^{n+1}}}{\left((-2)^{n+1} + 3^{n+1}\right)\cdot \frac{1}{3^{n+1}}} = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^n\cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3}}{\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1} + 1} = \frac{1}{3}.\]