Задача № 42. г) Доказать, что \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0), указав для всякого \(\varepsilon > 0\) число \(N = N(\varepsilon)\) такое, что \(|x_n| < \varepsilon\) при \(n > N\), если
г) \(x_n = (-1)^n\cdot 0,999^n\).
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу
| \(\varepsilon\) | 0,1 | 0,001 | 0,0001 |
| \(N\) |
Решение г).
\(|x_n| = |(-1)^n\cdot 0,999^n| = 0,999^n\).
Пусть натуральное число \(N\) такое, что для данного \(\varepsilon > 0\)
\(0,999^N < \varepsilon\)
\(\lg 0,999^N < \lg\varepsilon\)
\(N\lg 0,999 < \lg\varepsilon\).
Так как
\(\lg 0,999 = \log_{10}0,999 \approx -0,0004 < 0\),
поэтому
\(N > \frac{\lg\varepsilon}{\lg 0,999} \approx \frac{\lg\varepsilon}{-0,0004} = 2500\cdot (-1)\cdot \lg\varepsilon = 2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\)
Отсюда
\(N > 2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\).
Следовательно, если \(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\), то для любого натурального \(n > N\) будет выполняться неравенство
\(|x_n| = 0,999^n < \varepsilon\).
Пусть \(\varepsilon > 0\) и \(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\), тогда
\(|x_n| = 0,999^n < \varepsilon\),
при \(n > N\).
Это значит, что последовательность \(x_n = (-1)\cdot 0,999^n\) \((n = 1, 2, ...)\) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0).
1) Если \(\varepsilon = 0,1\), то
\(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil2500\lg\frac{1}{0,1}\right\rceil = 2500\)
Для любого \(n > 2500\) будет
\(|x_n| < 0,1\).
2) Если \(\varepsilon = 0,001\), то
\(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil2500\lg\frac{1}{0,001}\right\rceil = 7500\)
Для любого \(n > 7500\) будет
\(|x_n| < 0,001\).
3) Если \(\varepsilon = 0,0001\), то
\(N = \left\lceil2500\lg\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil2500\lg\frac{1}{0,0001}\right\rceil = 10000\)
Для любого \(n > 10000\) будет
\(|x_n| < 0,0001\).
Заполним таблицу
| \(\varepsilon\) | 0,1 | 0,001 | 0,0001 |
| \(N\) | 2500 | 7500 | 10000 |
