Глава 12. Задача 1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины \(X\), зная ее плотность распределения:

б) \(f(x) = \frac{1}{2l}\) при \(a-l \leq x \leq a+l\), \(f(x) = 0\) при остальных значениях \(x\).

Решение б).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины \(X\), возможные значения которой принадлежат отрезку \([a, b]\), называют определенный интеграл
\[M(X) = \int\limits_{a}^{b}xf(x)\,\mathrm{d}x. \qquad (*)\]

Пользуясь формулой (*) найдем математическое ожидание заданной случайной величины \(X\):
\[M(X) = \int\limits_{a-l}^{a+l} x \dfrac{1}{2l}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2l}\int\limits_{a-l}^{a+l}x\,\mathrm{d}x =\\ = \frac{1}{2l}\cdot\frac{x^2}{2}\Bigr|_{a-l}^{a+l} = \frac{1}{2l}\cdot\left(\frac{(a+l)^2}{2} - \frac{(a-l)^2}{2}\right) = \frac{1}{2l}\cdot\frac{4al}{2} = a.\]

Таким образом, искомое математическое ожидание непрерывной случайной величины \(X\) равно

\[M(X) = a.\]

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения \(X\) принадлежат отрезку \([a, b]\), то

\[D(X) = \int\limits_{a}^{b}[x - M(X)]^2 f(x)\,\mathrm{d}x. \qquad (**)\]

Пользуясь формулой (**) найдем дисперсию заданной случайной величины \(X\):
\[D(X) = \int\limits_{a-l}^{a+l}[x-a]^2\dfrac{1}{2l}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2l}\int\limits_{-1}^{1}(x-a)^2\,\mathrm{d}x =\\ = \frac{1}{2l}\cdot\frac{(x-a)^3}{3}\Bigr|_{a-l}^{a+l} = \frac{1}{2l}\cdot\left(\frac{(a+l-a)^3}{3} - \frac{(a-l-a)^3}{3}\right) = \frac{1}{2l}\cdot\frac{2l^3}{3} = \frac{l^2}{3}.\]

Следовательно, получаем искомую дисперсию заданной непрерывной случайной величины \(X\)

\[D(X) = \frac{l^2}{3}.\]

Ответ. б) \(M(X) = a\), \(D(X) = l^2/3\).