Отрезки AB и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки AC, CB, BD и AD равны, то луч AB является биссектрисой угла CAD и луч CD - биссектрисой угла ACB (рис. 66).
Решение:
Треугольники ACB и ADB равны по третьему признаку равенства треугольников. У них AC = AD, BC = BD по условию задачи, а сторона AB - общая. Так как стороны AC и BC равны, то по определению треугольник ABC - равнобедренный. Значит, углы CAO и CBO равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Треугольник ABD тоже равнобедренный, так как AD = BD по условию. Значит, углы DAO и DBO равны. Из равенства треугольников ACB и ADB следует, что углы CAO, CBO, DAO и DBO равны. Отсюда, \(\angle\)CAO = \(\angle\)DAO. Значит, луч AB является биссектрисой угла CAD.
Треугольники ACD и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников. У них AC = BC, AD = BD, а сторона CD - общая. Углы ACD и ADC равны как углы при основании. Углы BCD и BDC тоже равны. Значит, углы ACD, ADC, BCD и BDC равны. Отсюда, \(\angle\)ACD = \(\angle\)BCD. Значит, луч CD является биссектрисой угла ACB.