Точки A, B, C, D лежат на одной прямой, причём отрезки AB и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник ABE равнобедренный с основанием AB, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD (рис. 64).
Решение:
O - середина отрезка AB и середина отрезка CD. Поэтому AO = BO и CO = DO. Из аксиомы об измерении отрезков следует, что CO = AO + AC и DO = BO + BD. Отсюда, AC = CO - AO и BD = DO - BO. Так как отрезки AO и BO, CO и DO равны, то AC = CO - AO = DO - BO = BD. То есть отрезки AC и BD равны.
Пусть треугольник ABE - равнобедренный с основанием AB. По теореме 3.3 углы EAB и EBA равны, так как они углы при основании. Угол CAE смежный с углом EAB. Угол DBE смежный с углом EBA. По теореме 2.1 \(\angle\)CAE + \(\angle\)EAB = 180° и \(\angle\)DBE + \(\angle\)EBA = 180°. Отсюда, \(\angle\)CAE = 180° - \(\angle\)EAB и \(\angle\)DBE = 180° - \(\angle\)EBA. Так как углы EAB и EBA равны, то \(\angle\)CAE = 180° - \(\angle\)EAB = 180° - \(\angle\)EBA = \(\angle\)DBE. То есть \(\angle\)CAE = \(\angle\)DBE. Треугольники CAE и DBE равны по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что CE = DE. Значит, по определению треугольник CDE - равнобедренный.