Докажите, что у равных треугольников ABC и A₁B₁C₁:
1) медианы, проведённые из вершин A и A₁, равны;
2) биссектрисы, проведённые из вершин A и A₁, равны.

Решение:

1) Из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ следует, что AB = A₁B₁, $\angle$ABC = $\angle$A₁B₁C₁ и BC = B₁C₁. Так как BC = B₁C₁, D - середина BC и D₁ - середина B₁C₁, то BD = B₁D₁ = CD = C₁D₁. Также равны отрезки BD и B₁D₁.

Треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по первому признаку равенства треугольников. У них AB = A₁B₁, $\angle$ABC = $\angle$A₁B₁C₁ и BD = B₁D₁. Из равенства треугольников ABD и A₁B₁D₁ следует, что AD = A₁D₁. Значит, медианы, проведённые из вершин A и A₁, равны.

2) Из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ следует, что AB = A₁B₁, $\angle$ABC = $\angle$A₁B₁C₁ и $\angle$BAC = $\angle$B₁A₁C₁. Так как $\angle$BAC = $\angle$B₁A₁C₁, AD - биссектриса и A₁D₁ - тоже биссектриса, то $\angle$BAD = $\angle$B₁A₁D₁ = $\angle$CAD = $\angle$C₁A₁D₁. Также равны углы $\angle$BAD и $\angle$B₁A₁D₁.

Треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по второму признаку равенства треугольников. У них AB = A₁B₁, $\angle$ABC = $\angle$A₁B₁C₁ и $\angle$BAD = $\angle$B₁A₁D₁. Из равенства треугольников ABD и A₁B₁D₁ следует, что AD = A₁D₁. Значит, биссектрисы, проведённые из вершин A и A₁, равны.