1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.
2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.
Решение:
1) Пусть ABC - данный равнобедренный треугольник с основанием AB. Пусть:
- точка K - середина стороны AC;
- точка L - середина стороны BC;
- точка M - середина стороны AB.
По теореме 3.3 об углах при основании равнобедренного треугольника, \(\angle\)A = \(\angle\)B. Так как точка M - середина отрезка AB, то отрезки AM и BM равны. Так как точка K - середина отрезка AC, то отрезки AK и CK равны. Так как точка L - середина отрезка BC, то отрезки BL и CL равны.
Из-за того, что AK и CK, BL и CL равны, следует, что AC = 2AK и BC = 2BL. А так как стороны AC и BC равны как боковые, то AC = 2AK = 2BL. Также можно сказать, что AK = BL.
Треугольники AKM и BLM равны по первому признаку равенства треугольников. У них \(\angle\)A = \(\angle\)B, AK = BL и AM = BM. Из равенства треугольников AKM и BLM следует, что KM = LM. Поэтому по определению треугольник KLM - равнобедренный. А это значит, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.
2) Пусть ABC - данный равносторонний треугольник. Пусть:
- точка K - середина стороны AC;
- точка L - середина стороны BC;
- точка M - середина стороны AB.
Как мы знаем, в равностороннем треугольнике все углы и все стороны равны, т.е. \(\angle\)A = \(\angle\)B = \(\angle\)C и AB = AC = BC. Так как точка M - середина отрезка AB, то отрезки AM и BM равны. Так как точка K - середина отрезка AC, то отрезки AK и CK равны. Так как точка L - середина отрезка BC, то отрезки BL и CL равны.
Так как в равностороннем треугольнике все стороны равны, то и половины сторон равны. А это значит, что AK = CK = BL = СL = AM = BM.
Треугольники AKM и BLM равны по первому признаку равенства треугольников. У них \(\angle\)A = \(\angle\)B, AK = BL и AM = BM. Из равенства треугольников AKM и BLM следует, что KM = LM.
Треугольники AKM и CKL равны по первому признаку равенства треугольников. У них \(\angle\)A = \(\angle\)C, AK = CK и AM = CL. Из равенства треугольников AKM и CKL следует, что KM = KL. Таким образом, KM = KL = LM, т.е. все стороны треугольника равны. Поэтому по определению треугольник KLM - равносторонний. А это значит, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.
