Через середину O отрезка AB проведена прямая, перпендикулярная прямой AB (рис. 57). Докажите, что каждая точка X этой прямой одинаково удалена от точек A и B.
Решение:

Так как перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом (90°) и прямые AB и OX перпендикулярны по условию, то \(\angle\)AOX = 90°. Так как сумма смежных углов равна 180° и \(\angle\)AOX смежный с \(\angle\)BOX, то \(\angle\)AOX + \(\angle\)BOX = 180°. Отсюда, \(\angle\)BOX = 180° - \(\angle\)AOX = 180° - 90° = 90°.
Треугольники AOX и BOX равны по первому признаку равенства треугольников. У них AO = BO, так как точка O - середина отрезка AB, OX - общая сторона и \(\angle\)AOX = \(\angle\)BOX. Из равенства треугольников AOX и BOX следует, что AX =BX. Так как длину отрезка также называют и расстоянием между его концами, поэтому точка X одинаково удалена от точек A и B.