Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Решение:
Пусть: \(\angle\)BOC и \(\angle\)AOD - данные вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны, то углы BOC и AOD равны. Отсюда, \(\angle\)BOC = \(\angle\)AOD = x. Пусть: луч F - биссектриса угла BOC и луч E биссектриса угла AOD. Отсюда: \(\angle\)BOF = \(\frac{x}{2}\); \(\angle\)COF = \(\frac{x}{2}\); \(\angle\)AOE = \(\frac{x}{2}\); \(\angle\)DOE = \(\frac{x}{2}\).
Так как сумма смежных углов равна 180°, то:
\(\angle\)AOC + \(\angle\)AOD = 180°. Отсюда: \(\angle\)AOC + x = 180°, \(\angle\)AOC = 180° - x
\(\angle\)EOF = \(\angle\)COF + \(\angle\)AOC + \(\angle\)AOE
\(\angle\)EOF = \(\frac{x}{2}\) + 180° - x + \(\frac{x}{2}\)
\(\angle\)EOF = \(\frac{2x}{2}\) + 180° - x
\(\angle\)EOF = x + 180° - x
\(\angle\)EOF = 180°
Так как развёрнутый угол равен 180°, то биссетриссы вертикальных углов лежат на прямой EOF.