Глава 7. Задача 4. Дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределения, указанными в задаче 3. Найти математическое ожидание суммы X+Y двумя способами:
а) составив закон распределения Х+У;
б) пользуясь свойством 4.
Решение.
Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:
| X | 1 | 2 |
| p | 0,2 | 0,8 |
и
| Y | 0,5 | 1 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Решение а).
Составим все значения, которые может принимать случайная величина \(X+Y\). Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение Y:
\(x_1 + y_1 = 1 + 0,5 = 1,5\).
\(x_1 + y_2 = 1 + 1 = 2\).
\(x_2 + y_1 = 2 + 0,5 = 2,5\).
\(x_2 + y_2 = 2 + 1 = 3\).
Вероятности возможных значений суммы \(X+Y\) равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей:
\(p_1g_1 = 0,2\cdot 0,3 = 0,06\).
\(p_1g_2 = 0,2\cdot 0,7 = 0,14\).
\(p_2g_1 = 0,8\cdot 0,3 = 0,24\).
\(p_2g_2 = 0,8\cdot 0,7 = 0,56\).
Произведения \(x_1y_2\) и \(x_2y_1\) равны между собой, поэтому вероятность возможного значения произведения будет равна сумме соответствующих вероятностей (\(p_1g_2 + p_2g_1\)).
Закон распределения \(X+Y\):
| X+Y | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 |
| p | 0,06 | 0,14 | 0,24 | 0,56 |
Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:
\(M(XY) = 1,5\cdot 0,06 + 2\cdot 0,14 +2,5\cdot 0,24 + 3\cdot 0,56 = 2,65\).
Решение б).
Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
\(M(X) = 1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,8 = 1,8\).
\(M(Y) = 0,5\cdot 0,3 +1\cdot 0,7 = 0,85\).
Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание
\(M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 1,8 + 0,85 = 2,65\).
Ответ. 2,65.
