Глава 4. Задача 12. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй - 6, из третьей группы - 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
Решение.
Событие A = {студент в итоге соревнования попал в сборную}.
Можно сделать 3 предположения:
\(H_1\) = {студент принадлежал 1-й группе}.
\(H_2\) = {студент принадлежал 2-й группе}.
\(H_3\) = {студент принадлежал 3-й группе}.
По условию задачи
\(P(H_1) = \frac{4}{4 + 6 + 5} = \frac{4}{15}\).
\(P(H_2) = \frac{6}{4 + 6 + 5} = \frac{6}{15}\).
\(P(H_3) = \frac{5}{4 + 6 + 5} = \frac{5}{15}\).
Условная вероятность того, что студент в итоге соревнования попал в сборную, при условии, что верно предположение \(H_1\), равна
\(P_{H_1}(A) = 0,9\).
Условная вероятность того, что студент в итоге соревнования попал в сборную, при условии, что верно предположение \(H_2\), равна
\(P_{H_1}(A) = 0,7\).
Условная вероятность того, что студент в итоге соревнования попал в сборную, при условии, что верно предположение \(H_3\), равна
\(P_{H_3}(A) = 0,8\).
По формуле полной вероятности
$$P(A) = P(H_1)\cdot P_{H_1}(A) + P(H_2)\cdot P_{H_2}(A) + P(H_3)\cdot P_{H_3}(A) = \\ =\frac{4}{15} \cdot 0,9 + \frac{6}{15} \cdot 0,7 + \frac{5}{15} \cdot 0,8 = \frac{118}{150}.$$
Вероятность того, что студент принадлежал 1-й группе, при условии, что студент попал в сборную, найдем по формуле Байеса
$$P_A(H_1) = \frac{P(H_1)\cdot P_{H_1}(A)}{P(H_1)\cdot P_{H_1}(A) + P(H_2)\cdot P_{H_2}(A) + P(H_3)\cdot P_{H_3}(A)} = \\ = \frac{\frac{4}{15} \cdot 0,9}{\frac{118}{150}} = \frac{4}{15}\cdot \frac{9}{10}\cdot \frac{150}{118} = \frac{18}{59}.$$
Вероятность того, что студент принадлежал 2-й группе, при условии, что студент попал в сборную, найдем по формуле Байеса
$$P_A(H_2) = \frac{P(H_2)\cdot P_{H_2}(A)}{P(H_1)\cdot P_{H_1}(A) + P(H_2)\cdot P_{H_2}(A) + P(H_3)\cdot P_{H_3}(A)} = \\ = \frac{\frac{6}{15} \cdot 0,7}{\frac{118}{150}} = \frac{6}{15}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{150}{118} = \frac{21}{59}.$$
Вероятность того, что студент принадлежал 3-й группе, при условии, что студент попал в сборную, найдем по формуле Байеса
$$P_A(H_2) = \frac{P(H_2)\cdot P_{H_2}(A)}{P(H_1)\cdot P_{H_1}(A) + P(H_2)\cdot P_{H_2}(A) + P(H_3)\cdot P_{H_3}(A)} = \\ = \frac{\frac{5}{15} \cdot 0,8}{\frac{118}{150}} = \frac{5}{15}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{150}{118} = \frac{20}{59}.$$
Ответ. Вероятности того, что выбран студент первой, второй, третьей групп, соответственно равны: 18/59, 21/59, 20/59.
