Задача № 423. Найти значение следующего выражения:
\[\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x^2 - x - 2)^{20}}{(x^3 - 12x + 16)^{10}}.\]
Решение.
Число 2 является корнем многочлена \(x^2 - x - 2\). Действительно,
\[2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^2 - x - 2\) на \((x-2)\) по схеме Горнера:
| 1 | -1 | -2 | |
| 2 | 1 | 1 | 0 |
Получаем, что
\[x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).\]
Число 2 является корнем многочлена \(x^3 - 12x + 16\). Действительно,
\[2^3 - 12\cdot2 + 16 = 8 - 24 + 16 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^3 + 0x^2 - 12x + 16\) на \((x-2)\) по схеме Горнера:
| 1 | 0 | -12 | 16 | |
| 2 | 1 | 2 | -8 | 0 |
Получаем, что
\[x^3 - 12x + 16 = (x-2)(x^2+2x-8).\]
Число 2 является корнем многочлена \(x^2+2x-8\). Действительно,
\[2^2 + 2\cdot2 - 8 = 4+4-8 = 0.\]
Разделим многочлен \(x^2+2x-8\) на \((x-2)\) по схеме Горнера:
| 1 | 2 | -8 | |
| 2 | 1 | 4 | 0 |
Получаем, что
\[x^3 - 12x + 16 = (x-2)^2(x+4).\]
Таким образом,
\[\frac{(x^2 - x - 2)^{20}}{(x^3 - 12x + 16)^{10}} = \frac{\left((x-2)(x+1)\right)^{20}}{\left((x-2)^2(x+4)\right)^{10}} = \\ = \frac{(x-2)^{20}(x+1)^{20}}{(x-2)^{20}(x+4)^{10}} = \\ = \frac{(x+1)^{20}}{(x+4)^{10}}.\]
Следовательно, искомый предел равен
\[\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x^2 - x - 2)^{20}}{(x^3 - 12x + 16)^{10}} = \\ = \lim\limits_{x\to 2}\frac{(x+1)^{20}}{(x+4)^{10}} = \frac{3^{20}}{6^{10}} = \\ = \frac{3^{20}}{(3\cdot 2)^{10}} = \frac{3^{10}\cdot 3^{10}}{3^{10}\cdot 2^{10}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{10}.\]
Ответ. \(\left(\frac{3}{2}\right)^{10}\).
