Задача № 154, а). Определить область существования (область определения) следующей функции:
\[y = \log(x^2-4).\]
Решение.
\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).
Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.
Функция \(y = \log_a x \), где \(a\)- фиксированное число такое, что \(a>0\) и \(a\neq 1\), называется логарифмической функцией. Областью определения логарифмической функции является промежуток \((0, +\infty)\).
Таким образом, получаем следующее неравенство:
\(x^2-4 > 0\)
Решим следующее уравнение:
\(x^2-4 = 0\)
\((x - 2)(x + 2) = 0\)
Имеем следующие корни:
\(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\).
Следовательно, получаем следующие интервалы:
\((-\infty, -2)\), \((-2, 2)\), \((2, +\infty)\).
Значение выражения \(x^2-4\) на интервале \((-\infty, -2)\) положительно.
Значение выражения \(x^2-4\) на интервале \((-2, 2)\) отрицательно.
Значение выражения \(x^2-4\) на интервале \((2, +\infty)\) положительно.
Следовательно, областью определения заданной функции является объединение промежутков \((-\infty, -2)\) и \((2, +\infty)\):
\((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\)
Ответ. \(D(f) = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\) или \(D(f) = \{x\in\Bbb R \, : \, |x| > 2\}\) .