Задача № 154, б). Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \log(x+2) + \log(x-2).\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Функция \(y = \log_a x \), где \(a\)- фиксированное число такое, что \(a>0\) и \(a\neq 1\), называется логарифмической функцией. Областью определения логарифмической функции является промежуток \((0, +\infty)\).

Таким образом, получаем следующие неравенства:

\(1)\, x + 2 > 0\)

и

\(2)\, x - 2 > 0\).

Отсюда,

\(1)\, x > -2\)

и

\(2)\, x > 2\).

Следовательно, получаем следующие интервалы:

\((-2, +\infty)\)

и

\((2, +\infty)\).

Функция \(f_1(x) = \log(x+2)\) определена на интервале \((-2, +\infty)\).

Функция \(f_2(x) = \log(x-2)\) определена на интервале \((2, +\infty)\).

Следовательно, областью определения заданной функции является пересечение промежутков \((-2, +\infty)\) и \((2, +\infty)\):

\((-\infty, -2) \cap (2, +\infty) = (2, +\infty)\)

Ответ. \(D(f) = (2, +\infty)\) или \(D(f) = \{x\in\Bbb R \, : \, x > 2\}\).