Задача № 154, а). Определить область существования (область определения) следующей функции:

Решение.

$1^\circ$. Понятие функции. Переменная $y$ называется однозначной функцией $f$ от $x$ в данной области изменения $X=\{x\}$, если каждому значению $x\in X$ ставится в соответствие одно определенное действительное значение $y = f(x)$, принадлежащее некоторому множеству $Y=\{y\}$.

Множество $X$ носит название области определения или области существования функции $f(x)$; $Y$ называется множеством значений этой функции.

Функция $y = \log_a x$, где $a$- фиксированное число такое, что $a>0$ и $a\neq 1$, называется логарифмической функцией. Областью определения логарифмической функции является промежуток $(0, +\infty)$.

Таким образом, получаем следующее неравенство:

$x^2-4 > 0$

Решим следующее уравнение:

$x^2-4 = 0$

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Имеем следующие корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Следовательно, получаем следующие интервалы:

$(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, +\infty)$.

Значение выражения $x^2-4$ на интервале $(-\infty, -2)$ положительно.

Значение выражения $x^2-4$ на интервале $(-2, 2)$ отрицательно.

Значение выражения $x^2-4$ на интервале $(2, +\infty)$ положительно.

Следовательно, областью определения заданной функции является объединение промежутков $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$:

$(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

Ответ. $D(f) = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ или $D(f) = \{x\in\Bbb R \, : \, |x| > 2\}$ .