Задача № 155. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \sqrt{\sin\left(\sqrt{x}\right)}.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Учитывая, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, получаем следующее неравенство

\[\sin\left(\sqrt{x}\right) \geq 0.\]

Функция \(y = \sin x\) принимает неотрицательные значения при \(x\in \left[2k\pi,(2k+1)\pi\right]\) \((k = 0, 1, 2, ...)\).

Таким образом, для того, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, необходимо, чтобы выполнялось следующее двойное неравенство

\[2k\pi \leq \sqrt{x} \leq (2k+1)\pi\quad (k = 0, 1, 2, ...).\]

Отсюда,

\[4k^2\pi^2 \leq x \leq (2k+1)^2\pi^2\quad (k = 0, 1, 2, ...).\]

Следовательно, областью определения заданной функции являются промежутки \([4k^2\pi^2, (2k+1)^2\pi^2]\, (k = 0, 1, 2, ...)\).

Ответ. \(D(f) = [4k^2\pi^2, (2k+1)^2\pi^2]\, (k = 0, 1, 2, ...)\) или \(D(f) = \{x\in\Bbb R\, :\, x \in[4k^2\pi^2, (2k+1)^2\pi^2]\, (k = 0, 1, 2, ...)\}\).