Задача № 156. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \sqrt{\cos x^2}.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Учитывая, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, получаем следующее неравенство

\[\cos x^2 \geq 0.\]

Функция \(y = \cos x\) принимает неотрицательные значения при \(x\in \left[(4k-1)\frac{\pi}{2},(4k+1)\frac{\pi}{2}\right]\) \((k = 0, 1, 2, ...)\).

Таким образом, для того, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, необходимо, чтобы выполнялось следующие двойные неравенства

\[0 \leq x^2 \leq \frac{\pi}{2},\]

либо

\[(4k-1)\frac{\pi}{2} \leq x^2 \leq (4k+1)\frac{\pi}{2}\quad (k = 1, 2, ...).\]

Отсюда, учитывая, что \(\sqrt{x^2} = |x|\), получаем

\[0 \leq |x| \leq \sqrt{\frac{\pi}{2}},\]

либо

\[\sqrt{(4k-1)\frac{\pi}{2}} \leq |x| \leq \sqrt{(4k+1)\frac{\pi}{2}}\quad (k = 1, 2, ...).\]

Следовательно, областью определения заданной функции является множество

\[D(f) = \{x\in\Bbb R\, :\, |x| \leq \sqrt{\frac{\pi}{2}},\,\text{либо}\, \sqrt{(4k-1)\frac{\pi}{2}} \leq |x| \leq \sqrt{(4k+1)\frac{\pi}{2}}\; (k = 1, 2, ...)\}.\]

Ответ. \(D(f) = \{x\in\Bbb R\, :\, |x| \leq \sqrt{\frac{\pi}{2}},\,\text{либо}\, \sqrt{(4k-1)\frac{\pi}{2}} \leq |x| \leq \sqrt{(4k+1)\frac{\pi}{2}}\; (k = 1, 2, ...)\}\).