Задача № 157. Определить область существования (область определения) следующей функции:
\[y = \lg\left(\sin\frac{\pi}{x}\right).\]
Решение.
\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).
Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.
Функция \(y = \log_a x \), где \(a\)- фиксированное число такое, что \(a>0\) и \(a\neq 1\), называется логарифмической функцией. Областью определения логарифмической функции является промежуток \((0, +\infty)\).
Таким образом, получаем следующее неравенство:
\[\sin\frac{\pi}{x} > 0.\]
Функция \(y = \sin x\) принимает положительные значения при \(x\in (2\pi\cdot k,\pi+2\pi\cdot k)\) \((k = 0, \pm 1, \pm 2, ...)\).
Таким образом, необходимо, чтобы выполнялись следующие двойные неравенства:
\[2\pi\cdot k < \frac{\pi}{x} < \pi + 2\pi\cdot k\; (k = 0, 1, 2, ...),\]
либо
\[-2\pi\cdot k - 2\pi < \frac{\pi}{x} < - 2\pi\cdot k - \pi\; (k = 0, 1, 2, ...).\]
Учитывая, что \(x \neq 0\), (так как в этом случае \(x\) - положительное число) имеем
\[2k < \frac{1}{x} \,\text{и}\, \frac{1}{x} < 1 + 2k\; (k = 0, 1, 2, ...),\]
\[x < \frac{1}{2k} \,\text{и}\, \frac{1}{1 + 2k} < x\; (k = 0, 1, 2, ...),\]
\[\frac{1}{2k+1} < x < \frac{1}{2k}\; (k = 0, 1, 2, ...),\]
либо (так как в этом случае \(x\) - отрицательное число) имеем
\[-2k-2 < \frac{1}{x} \,\text{и}\, \frac{1}{x} < -2k-1\; (k = 0, 1, 2, ...).\]
\[x < \frac{1}{-2k-2} \,\text{и}\, \frac{1}{-2k-1} > x\; (k = 0, 1, 2, ...)\]
\[\frac{1}{-2k-1} < x < \frac{1}{-2k-2}\; (k = 0, 1, 2, ...).\]
\[-\frac{1}{2k+1} < x < -\frac{1}{2k+2}\; (k = 0, 1, 2, ...).\]
Следовательно, областью определения заданной функции является объединение следующих множеств
\[\bigcup\limits_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2k+1}, \frac{1}{2k}\right).\]
и
\[\bigcup\limits_{k=0}^{+\infty}\left(-\frac{1}{2k+1}, -\frac{1}{2k+2}\right).\]
По другому, область определения заданной функции составляют промежутки
\[\frac{1}{2k+1} < x < \frac{1}{2k}\; (k = 0, 1, 2, ...)\]
и
\[-\frac{1}{2k+1} < x < -\frac{1}{2k+2}\; (k = 0, 1, 2, ...).\]
Ответ. \(D(f) = \left\{x\in\Bbb R\, :\, x\in \bigcup\limits_{k=0}^{+\infty} \left( \left(-\frac{1}{2k+1}, -\frac{1}{2k+2}\right) \bigcup \left(\frac{1}{2k+1}, \frac{1}{2k}\right) \right) \right\}\).
Или
\(\frac{1}{2k+1} < x < \frac{1}{2k}\) и \(-\frac{1}{2k+1} < x < -\frac{1}{2k+2}\) \((k = 0, 1, 2, ...).\)
