Задача № 158. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \frac{\sqrt{x}}{\sin\pi x}.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, получаем следующее неравенство

\[x \geq 0.\]

Так как деление на ноль не определено, получаем следующее неравенство:

\[\sin\pi x \neq 0.\]

Функция \(y = \sin x\) принимает значение 0 при \(x = \pi k\) \((k = 0, \pm 1, \pm 2, ...)\).

Таким образом, необходимо, чтобы выполнялись следующие неравенства:

\[x > 0\]

и

\[\pi x \neq \pi k\; (k = 1, 2, ...).\]

\[x \neq k\; (k = 1, 2, ...).\]

Следовательно, областью определения заданной функции является множество действительных чисел, удовлетворяющих следующим двум условиям:

\[x > 0\]

и

\[x \neq k\; (k = 1, 2, ...).\]

По другому, область определения заданной функции

\(D(f) = \left\{x\in\Bbb R\, : \, x > 0\,\text{и}\, x \neq k\; (k = 1, 2, ...)\right\}\).

Ответ. \(D(f) = \left\{x\in\Bbb R\, : \, x > 0\,\text{и}\, x \neq k\; (k = 1, 2, ...)\right\}\).