Задача № 159. Определить область существования (область определения) следующей функции:
\[y = \arcsin\frac{2x}{1 + x}.\]
Решение.
\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).
Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.
Так как деление на ноль не определено, получаем следующее неравенство:
\[x \neq -1.\]
Область определения функции \(y = \arcsin x\) есть отрезок \([-1, 1]\).
Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось следующее двойное неравенство:
\[-1\leq\frac{2x}{1 + x}\leq 1\]
\[-1\leq\frac{2(x+1)-2}{1 + x}\leq 1\]
\[-1\leq 2 - \frac{2}{1 + x}\leq 1\]
\[-3\leq -\frac{2}{1 + x}\leq -1\]
\[1\leq \frac{2}{1 + x}\leq 3\]
\[\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1 + x}\leq \frac{3}{2}\]
\[\frac{2}{3} \leq 1 + x \leq 2\]
\[-\frac{1}{3} \leq x \leq 1.\]
Следовательно, областью определения заданной функции является промежуток \([-\frac{1}{3},1]\).
Ответ. \(D(f) = \left[-\frac{1}{3},1\right]\) или \(-\frac{1}{3} \leq x \leq 1\).