Задача № 159. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \arcsin\frac{2x}{1 + x}.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Так как деление на ноль не определено, получаем следующее неравенство:

\[x \neq -1.\]

Область определения функции \(y = \arcsin x\) есть отрезок \([-1, 1]\).

Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось следующее двойное неравенство:

\[-1\leq\frac{2x}{1 + x}\leq 1\]

\[-1\leq\frac{2(x+1)-2}{1 + x}\leq 1\]

\[-1\leq 2 - \frac{2}{1 + x}\leq 1\]

\[-3\leq -\frac{2}{1 + x}\leq -1\]

\[1\leq \frac{2}{1 + x}\leq 3\]

\[\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1 + x}\leq \frac{3}{2}\]

\[\frac{2}{3} \leq 1 + x \leq 2\]

\[-\frac{1}{3} \leq x \leq 1.\]

Следовательно, областью определения заданной функции является промежуток \([-\frac{1}{3},1]\).

Ответ. \(D(f) = \left[-\frac{1}{3},1\right]\) или \(-\frac{1}{3} \leq x \leq 1\).