Задача № 160. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \arccos(2\sin x).\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Область определения функции \(y = \arccos x\) есть отрезок \([-1, 1]\).

Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось следующее двойное неравенство:

\[-1\leq 2\sin x \leq 1\]

\[-\frac{1}{2}\leq \sin x \leq \frac{1}{2}\]

Решив это двойное тригонометрическое неравенство, получим, что область определения заданной функции есть объединение следующих промежутков:

\[-\frac{\pi}{6} + \pi k \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \pi k \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...)\]

или множество действительных чисел \(x\) таких, что

\[|x - \pi k | \leq \frac{\pi}{6} \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...).\]

Ответ. \(D(f) = \left\{x\in\Bbb R\, : \, |x - \pi k | \leq \frac{\pi}{6}\; (k = 1, 2, ...)\right\}\)