Задача № 153. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = (x-2)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Учитывая, что

1) подкоренное выражение должно быть неотрицательным,

2) деление на ноль не определено,

получаем следующее неравенство

\[\frac{1+x}{1-x} \geq 0.\]

Найдем нули числителя и знаменателя :

\(1 + x = 0 \implies x = -1\),

\(1 - x = 0 \implies x = 1\).

Имеем следующие корни:

\(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\).

Следовательно, получаем следующие интервалы:

\((-\infty; -1)\), \((-1; 1)\), \((1; +\infty)\).

Значение подкоренного выражения на интервале \((-\infty; -1)\) отрицательно.

Значение подкоренного выражения на интервале \((-1; 1)\) положительно.

Значение подкоренного выражения на интервале \((1; +\infty)\) отрицательно.

Решением неравенства будет промежуток \([-1; 1)\).

Число 1 не включено в промежуток, так как при \(x = 1\) знаменатель дроби \(\frac{1+x}{1-x}\) равняется нулю.

Следовательно, областью определения заданной функции является промежуток \([-1; 1)\).

Ответ. \(D(f) = [-1; 1)\).