Задача № 165. 3. Определить область существования (область определения) следующей функции:
\[y = \sqrt{\sin 2x} + \sqrt{\sin{3x}}\quad (0\leq x \leq 2\pi).\]
Решение.
\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).
Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.
(1) Так как область определения функции \(y = \sqrt{x}\) есть промежуток \([0, +\infty)\), поэтому для первого слагаемого заданной функции имеем
\[\sin 2x \geq 0 \quad (0\leq x \leq 2\pi).\]
Учитывая, что \(\sin\alpha \geq 0\) при \(\pi n \leq \alpha \leq \pi + \pi n\), где \(n\) - целое, получаем, что необходимо, чтобы \(x\) удовлетворял следующим условиям:
\[0\leq x \leq 2\pi\]
\[0 \leq 2x \leq \pi\]
\[2\pi \leq 2x \leq \pi + 2\pi\]
\[4\pi \leq 2x \leq \pi + 4\pi\] Отсюда,
\[0\leq x \leq 2\pi\]
\[0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\]
\[\pi \leq x \leq \frac{3\pi}{2}\]
\[ x = 2\pi\]
(2) Так как область определения функции \(y = \sqrt{x}\) есть промежуток \([0, +\infty)\), поэтому для второго слагаемого заданной функции имеем
\[\sin 3x \geq 0 \quad (0\leq x \leq 2\pi).\]
Учитывая, что \(\sin\alpha \geq 0\) при \(\pi n \leq \alpha \leq \pi + \pi n\), где \(n\) - целое, получаем, что необходимо, чтобы \(x\) удовлетворял следующим условиям:
\[0\leq x \leq 2\pi\]
\[0 \leq 3x \leq \pi\]
\[2\pi \leq 3x \leq \pi + 2\pi\]
\[4\pi \leq 3x \leq \pi + 4\pi\] Отсюда,
\[0\leq x \leq 2\pi\]
\[0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}\]
\[\frac{2\pi}{3} \leq x \leq \pi\]
\[\frac{4\pi}{3} \leq x \leq \frac{5\pi}{3}\]
Следовательно, область определения заданной функции состоит из следующих промежутков
\[0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}\]
и
\[\frac{4\pi}{3} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}.\]
Ответ. \(0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}\) и \(\frac{4\pi}{3} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}\).
