Задача № 165. 2. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \sqrt[4]{\lg\text{tg}\, x}.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Функция \(y = \log_a x \), где \(a\)- фиксированное число такое, что \(a>0\) и \(a\neq 1\), называется логарифмической функцией. Областью определения логарифмической функции является промежуток \((0, +\infty)\).

Так как область определения функции \(y = \sqrt[4]{x}\) есть промежуток \([0, +\infty)\), поэтому для заданной функции имеем

\[\lg\text{tg}\, x \geq 0\]

\[10^{\lg\text{tg}\, x} \geq 10^0\]

\[\text{tg}\, x \geq 1\]

Решив это тригонометрическое неравенство, получим, что область определения заданной функции состоит из объединения следующих промежутков:

\[\frac{\pi}{4} + \pi k \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi k \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...).\]

Ответ. \(\frac{\pi}{4} + \pi k \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi k \; (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...)\).