Задача № 165.1. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \log_2\log_3\log_4 x.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Функция \(y = \log_a x \), где \(a\)- фиксированное число такое, что \(a>0\) и \(a\neq 1\), называется логарифмической функцией. Областью определения логарифмической функции является промежуток \((0, +\infty)\).

Так как область определения логарифмической функции есть промежуток \((0, +\infty)\), поэтому для заданной функции имеем

\[\log_3\log_4 x > 0\]

\[3^{\log_3\log_4 x} > 3^0\]

\[\log_4 x > 1\]

\[4^{\log_4 x} > 4^1\]

\[x > 4.\]

Отсюда следует, что область определения заданной функции есть промежуток \((4, +\infty)\).

Ответ. \(x > 4\) или \((4, +\infty)\).