Задача № 165. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = (2x)!.\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Факториалом числа \(n\) называется произведение всех натуральных чисел, меньше или равныx \(n\). Факториал обозначается \(n!\):

\[n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \left( {n - 1} \right) \cdot n.\]

Факториал нуля по определению равен \(1\):

\[0! = 1.\]

Из определения факториала следует, что аргумент заданной функции должен удовлетворять условию

\[2x = n\; (n = 0, 1, 2, ...).\]

Отсюда следует, что область определения заданной функции состоит из следующих чисел:

\[0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, ...\, ,\frac{n}{2}, ...,\, \text{где}\, n\,-\, \text{натуральное число}.\]

Ответ. \(0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, ...\, ,\frac{n}{2}, ...,\, \text{где}\, n\,-\, \text{натуральное число}\).