Задача № 164. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \arcsin(1-x) + \lg(\lg x).\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Функция \(y = \log_a x \), где \(a\)- фиксированное число такое, что \(a>0\) и \(a\neq 1\), называется логарифмической функцией. Областью определения логарифмической функции является промежуток \((0, +\infty)\).

(1) Так как область определения функции \(y = \arcsin x\) есть отрезок \([-1, 1]\), поэтому для функции \(y = \arcsin(1-x)\) имеем

\[-1 \leq 1-x \leq 1\]

\[-2 \leq -x \leq 0\]

\[0 \leq x \leq 2.\]

(2) Так как область определения логарифмической функции есть промежуток \((0, +\infty)\), поэтому для функции \(y = \lg(\lg x)\) имеем

\[\lg x > 0\]

\[10^{\lg x} > 10^0\]

\[ x > 1.\]

Из (1) и (2) следует, что область определения заданной функции есть

\[1 < x \leq 2.\]

Ответ. \(1 < x \leq 2\).