Задача № 42. б) Доказать, что \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0), указав для всякого \(\varepsilon > 0\) число \(N = N(\varepsilon)\) такое, что \(|x_n| < \varepsilon\) при \(n > N\), если

б) \(x_n = \frac{2n}{n^3 + 1}\).

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу

Решение б).

\(|x_n| = \frac{2n}{n^3 + 1} = \frac{2}{n^2 + \frac{1}{n}} < \frac{2}{n^2}\)

Таким образом, если число \(N = N(\varepsilon)\) такое, что для любого натурального \(n > N\) выполняется неравенство

\(\frac{2}{n^2} < \varepsilon\),

то для этого натурального \(n\) будет также

\((1)\quad |x_n| = \frac{2n}{n^3 + 1} < \varepsilon\).

Пусть натуральное число N такое, что

\(\frac{2}{N^2} \leq \varepsilon\).

Отсюда

\(\frac{2}{\varepsilon} \leq N^2\)

\(N \geq \sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\).

Следовательно, если \(N = \left[\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\right]\), то для любого натурального \(n > N\) будут выполняться неравенство (1).

Пусть \(\varepsilon > 0\) и \(N = \left[\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\right]\), тогда

\(|x_n| = \frac{2n}{n^3 + 1} < \varepsilon\),

при \(n > N\).

Это означает, что последовательность \(x_n = \frac{2n}{n^3 + 1}\) \((n = 1, 2, ...)\) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0).

1) Если \(\varepsilon = 0,1\), то

\(N = [\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}] = [\sqrt{\frac{2}{0,1}}] = 4 \)

Для любого \(n > 4\) будет

\(|x_n| < 0,1\).

2) Если \(\varepsilon = 0,001\), то

\(N = \left[\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\right] = [\frac{1}{0,001}] = 14 \)

Для любого \(n > 14\) будет

\(|x_n| < 0,001\).

3) Если \(\varepsilon = 0,0001\), то

\(N = \left[\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\right] = [\frac{1}{0,0001}] = 44 \)

Для любого \(n > 44\) будет

\(|x_n| < 0,0001\).

Заполним таблицу