Задача № 42. а) Доказать, что \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0), указав для всякого \(\varepsilon > 0\) число \(N = N(\varepsilon)\) такое, что \(|x_n| < \varepsilon\) при \(n > N\), если
а) \(x_n = \frac{(-1)^{n + 1}}{n}\).
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу
| \(\varepsilon\) | 0,1 | 0,001 | 0,0001 |
| \(N\) |
Решение а).
\(|x_n| = \left|\frac{(-1)^{n + 1}}{n}\right| = \frac{1}{n}\)
Таким образом, число \(N = N(\varepsilon)\) необходимо выбрать так, чтобы для \(n > N\) выполнялось следующее неравенство
\((1)\quad\frac{1}{n} < \varepsilon\).
Если для некоторого натурального числа \(N\)
\(\frac{1}{N} < \varepsilon\),
то
\(\frac{1}{\varepsilon} < N\)
Следовательно, если \(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\), то для любого натурального \(n > N\) будет выполняться неравенство (1).
Пусть \(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\), тогда
\(|x_n| = |\frac{1}{n}| < \varepsilon\),
при \(n > N\).
Это означает, что последовательность \(x_n = \frac{(-1)^{n + 1}}{n}\) \((n = 1, 2, ...)\) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0).
1) Если \(\varepsilon = 0,1\), то
\(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil\frac{1}{0,1}\right\rceil = 10 \)
Для любого \(n > 10\) будет
\(|x_n| < 0,1\).
2) Если \(\varepsilon = 0,001\), то
\(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil\frac{1}{0,001}\right\rceil = 1000 \)
Для любого \(n > 1000\) будет
\(|x_n| < 0,001\).
3) Если \(\varepsilon = 0,0001\), то
\(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil\frac{1}{0,0001}\right\rceil = 10000 \)
Для любого \(n > 10000\) будет
\(|x_n| < 0,0001\).
Заполним таблицу
| \(\varepsilon\) | 0,1 | 0,001 | 0,0001 |
| \(N\) | 10 | 1000 | 10000 |
