Задача № 41. Пусть

\(x_n = \frac{n}{n+1}\quad (n = 1, 2, ...).\)

Доказать, что

\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 1\),

определив для каждого \(\varepsilon > 0\) число \(N = N(\varepsilon)\) такое, что

\(|x_n - 1| < \varepsilon\), если \(n > N\).

Заполнить следующую таблицу

Решение.

\(|x_n - 1| < \varepsilon\)

\(-\varepsilon < x_n - 1 < \varepsilon\)

\(-\varepsilon < \frac{n}{n+1} - 1 < \varepsilon\)

\(-\varepsilon < \frac{n - (n+1)}{n+1} < \varepsilon\)

\(-\varepsilon < \frac{-1}{n+1} < \varepsilon\)

\(-\varepsilon < \frac{1}{n+1} < \varepsilon\)

Таким образом, число \(N = N(\varepsilon)\) необходимо выбрать так, чтобы для \(n > N\) выполнялись следующие два неравенства

\((1)\quad\frac{1}{n+1} > -\varepsilon\)

и

\((2)\quad\frac{1}{n+1} < \varepsilon\).

Так как \(\varepsilon > 0\), поэтому для любого натурального числа \(n = 1, 2, ...\)

\(\frac{1}{n+1} > 0 > -\varepsilon\).

Далее, если для некоторого натурального числа \(N\)

\(\frac{1}{N+1} < \varepsilon\)

\(\frac{1}{\varepsilon} < N+1\)

Отсюда получаем, что если \(N = [\frac{1}{\varepsilon}]\), то для любого натурального \(n > N\) будут выполняться неравенства (1) и (2).

Пусть \(N = [\frac{1}{\varepsilon}]\), тогда

\(|x_n - 1| = |\frac{1}{n+1} - 1| < \varepsilon\),

при \(n > N\).

Другими словами, предел данной последовательности равен 1.

1) Если \(\varepsilon = 0,1\), то

\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,1}] = 10 \)

Для любого \(n > 10\) будет

\(|x_n - 1| < 0,1\).

2) Если \(\varepsilon = 0,01\), то

\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,01}] = 100 \)

Для любого \(n > 100\) будет

\(|x_n - 1| < 0,01\).

3) Если \(\varepsilon = 0,001\), то

\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,001}] = 1000 \)

Для любого \(n > 1000\) будет

\(|x_n - 1| < 0,001\).

4) Если \(\varepsilon = 0,0001\), то

\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,0001}] = 10000 \)

Для любого \(n > 10000\) будет

\(|x_n - 1| < 0,0001\).

Заполним таблицу