Глава 4. Задача 10. В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

Решение.

Событие A = {извлечена стандартная деталь}.

Относительно 3 деталей, первоначально содержавшихся в ящике можно сделать 4 предположения:

$H_0$ = {все три детали стандартные}.

$H_1$ = {2 детали стандартные, 1 - нестандартная}.

$H_2$ = {1 деталь стандартная, 2 - нестандартные}.

$H_3$ = {все три детали нестандартные}.

По условию задачи все предположения равновероятны, следовательно

$P(H_0) = P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) =\frac{1}{4} = 0,25$.

Примем во внимание, что в ящик добавляется 1 стандартная деталь.

Условная вероятность того, что из ящика извлечена стандартная деталь, при условии, что верно предположение $H_0$, равна

$P_{H_0}(A) = \frac{3+1}{4} = 1$.

Условная вероятность того, что из ящика извлечена стандартная деталь, при условии, что верно предположение $H_1$, равна

$P_{H_0}(A) = \frac{2+1}{4} = 0,75$.

Условная вероятность того, что из ящика извлечена стандартная деталь, при условии, что верно предположение $H_2$, равна

$P_{H_0}(A) = \frac{1+1}{4} = 0,5$.

Условная вероятность того, что из ящика извлечена стандартная деталь, при условии, что верно предположение $H_3$, равна

$P_{H_0}(A) = \frac{0+1}{4} = 0,25$.

По формуле полной вероятности

$P(A) = P(H_0)\cdot P_{H_0}(A) + P(H_1)\cdot P_{H_1}(A) + \\ + P(H_2)\cdot P_{H_2}(A) + P(H_3)\cdot P_{H_3}(A) = \\ = 0,25 \cdot (1 + 0,75 + 0,5 + 0,25)= 0,625$

Ответ. 0,625