Глава 2. Задача 3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

Решение.

Пусть событие A = {Среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная}. Тогда противоположным ему является событие $\overline A$ = {Среди наудачу извлеченных 2 деталей нет ни одной стандартной}.

Из условия задачи следует, что в партии есть 10 - 8 = 2 не стандартные детали.

Общее число возможных элементарных исходов $n$ равно числу сочетаний из 10 различных элементов по два элемента:

$n = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!8!} = 45$.

Событие $\overline A$ произойдет, если обе извлеченные детали окажутся не стандартными.

То есть, число благоприятствующих исходов для события $\overline A$ равно

$m = C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1$.

Вероятность события $\overline A$ равна

$P(\overline A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{45}$.

Применяя теорему о сумме вероятностей противоположных событий, находим искомую вероятность

$P(A) = 1 - P(\overline A) = 1 - \frac{1}{45} = \frac{45 - 1}{45} = \frac{44}{45}$.

Ответ. p = 44/45.